Senin, 03 Januari 2011

ukuran lokasi dan dispersi

BAB III
UKURAN LOKASI DAN DISPERSI

Dalam pembicaraan yang lalu kita telah menyajikan data dalam bentuk tabel dan grafik yang bertujuan meringkaskan dan menggambarkan data kuantitatif, untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas tentang sekumpulan data. Selain data itu disajikan dalam tabel dan grafik, dapat juga disajikan dalam ukuran-ukuran yang merupakan wakil dari kumpulan data itu. Dalam bab ini akan dibicarakan tentang ukuran tengah dan dispersi.

3.1. Ukuran Lokasi
Salah satu ukuran numerik yang penting adalah ukuran lokasi, yaitu suatu ukuran sepanjang garis horizontal yang letaknya ditengah distribusi data. Ukuran lokasi sekumpulan data adalah nilai yang representatif bagi keseluruhan nilai data atau dapat menggambarkan distribusi data itu, khususnya dalam hal letaknya (lokasinya). Nilai tersebut dihitung dari keseluruhan data bersangkutan sehingga cenderung terletak diurutan tengah atau pusat setelah data diurutkan menurut besarnya. Oleh karena itu, nilai tunggal tersebut sering dinamakan ukuran tendensi sentral (measures of central tendency) atau ukuran nilai sentral (measures of central value).
Beberapa ukuran lokasi yang akan dibicarakan adalah mean, mean terbobot, median, kuartil dan modus.


3.1.1 Mean dan Mean Terbobot
Mean atau rata-rata sering juga disebut sebagai arithmatic mean. Untuk membedakan antara mean sampel dan mean populasi, dalam tulisan ini digunakan symbol ( -bar) untuk menyatakan mean sample dan untuk mean populasi.

a. Data tidak dikelompokkan
Mean suatu himpunan yang terdiri dari n observasi / data adalah jumlah semua observasi dibagi n.

Definisi 3.1
Dipunyai sampel berukuran n dengan elemen x1, x2, ..., xn
maka mean sampel itu adalah
(x1 + x2 + ... + xn)/n
atau (3.1)
Contoh 3.1
Diketahui sampel penimbangan berat badan 5 orang dewasa dalam kg adalah
60 65 59 71 65
maka rata-rata (mean) berat badan ,
= (60 + 65 + 59 + 71 + 65)/5 = 320/5 = 64

Pada waktu kita menghitung mean suatu kumpulan data, kita anggap bahwa semua nilai observasi itu sama “penting” dan diberi bobot yang sama dalam perhitungan. Dalam situasi di mana nilai data tidak sama penting, kita dapat menetapkan bobot untuk setiap nilai data itu yang proporsional terhadap derajat kepentingan dan kemudian dihitung mean terbobot.

Definisi 3.2 :
Misal v1, v2, ... , vk adalah himpunan k nilai dan w1, w2, ..., wk bobot yang diberikan kepada nilai-nilai itu maka mean terbobot adalah
(3.2)


Contoh 3.2 .
Misalkan seorang mahasiswa mengambil matakuliah X dengan 3 sks dan memperoleh nilai A = 4 (w1 = 3, v1 = 4) dan mata kuliah Y dengan 2 sks dan memperoleh nilai D = 1 (w2 = 2, v2 = 1) serta mata kuliah Z dengan 1 sks dan memperoleh nilai B = 3 (w3 = 1, v3 = 3) maka indeks prestasinya adalah

Prosedur pembobotan juga digunakan dalam menghitung mean dari beberapa himpunan data yang dikombinasikan. Misalnya kita mempunyai m himpunan data terdiri atas n1, n2, …,nm nilai observasi dengan mean masing-masing adalah . Mean kombinasi data ini adalah mean terbobot dari individual mean, yaitu :


contoh 3.3.
Tiga kelompok data masing-masing terdiri dari 10, 6, dan 8. Sedang rata-rata masing-masing kelompok adalah 145, 118, dan 162.
Jika data digabung jadi satu, maka rata-ratanya adalah


b. Data dikelompokkan
Data dikelompokkan adalah sekumpulan data yang telah disederhanakan dalam bentuk distribusi frekuensi. Harga mean yang diperoleh merupakan harga pendekatan, dengan anggapan bahwa nilai yang terletak pada suatu interval kelas sama dengan harga titik tengahnya. Mean yang diperoleh merupakan mean terbobot dengan nilai bobotnya sama dengan nilai frekuensinya.

Definisi 3.3 :
Mean data yang dikelompokkan adalah
(3.3)
dengan xi : titik tengan interval kelas ke-i
fi : frekuensi interval kelas ke-i
n : banyaknya data

Contoh 3.4.
Untuk menghitung data pada contoh 2.1, kita gunakan tabel seperti di bawah ini.
Interval kelas xi fi fi xi
164,5 - 167,5 166 6 996

167,5 - 170,5 169 7 1183

170,5 - 173,5 172 8 1376

173,5 - 176,5 175 11 1925

176,5 - 179,5 178 7 1246

179,5 - 182,5 181 6 1086

182,5 - 185,5 184 5 920

Jumlah 50 8732

sehingga = 8732/50 = 174,64

Cara lain dengan transformasi
ui = (xi - a) / c
dengan xi : titik tengah interval kelas ke-i
a : sembarang harga titik tengah interval kelas
c : lebar interval kelas
sehingga mean adalah
dengan (3.4)

Contoh 3.5.
Untuk contoh di atas, transformasinya adalah
ui = (xi - a) / c = (xi - 175) / 3
kemudian dibuat tabel hasil transformasi, yaitu :

Interval kelas xi ui fi fi ui
164,5 - 167,5 166 -3 6 -18
167,5 - 170,5 169 -2 7 -14
170,5 - 173,5 172 -1 8 -8
173,5 - 176,5 175 0 11 0
176,5 - 179,5 178 1 7 7
179,5 - 182,5 181 2 6 12
182,5 - 185,5 184 3 5 15
Jumlah 50
-6



maka = -6/50 = -0,12
sehingga = c + a = 3( - 0,12) + 175 = -0,36 + 175 = 174,64

3.1.2 Median
Median dari sekumpulan data adalah nilai yang berada di tengah dari sekumpulan data itu setelah diurutkan menurut besarnya.

a. Data yang tidak dikelompokkan
Contoh 3.6 :
1. Tinggi badan 5 orang dewasa
165 167 168 170 171
median = 168
2. Berat badan 6 orang dewasa
55 57 58 60 60 65

median = (58 + 60) / 2 = 59

b. Data yang dikelompokkan
Untuk mengitung median data yang telah dikelompokkan dalam bentuk distribusi frekuensi digunakan cara interpolasi, dengan menganggap bahwa data yang jatuh pada suatu interval letaknya tersebar merata dalam interval itu.
Rumus untuk menghitung median adalah
Median = Md = Lmd + c (3.5)
dengan Lmd : batas bawah interval median
n : banyak data
F : jumlah frekuensi interval-interval sebelum interval median
fmd : frekuensi interval median
c : lebar interval

Interval median adalah interval dimana median itu berada, diperoleh dengan menghitung harga yang nomor ke-n/2 menurut urutan frekuensinya dari atas ke bawah (dari bawah ke atas).

Contoh 3.7
dari tabel 2.1
n = 50 maka n/2 = 25 (untuk n ganjil, gunakan (n+1)/2)
Urutan frekuensi dari atas ke bawah 6+7+8+11 = 32
Sehingga harga median terletak dalam interval ke-4, yaitu 173,5 - 176,5 dengan frekuensi 11. Interval kelas ini yang dinamakan interval median.
maka Lmd = 173,5
n = 50
F = 21
fmd = 11
c = 3
Jadi median adalah
Median = Md = 173,5 +

3.1.3 Kuartil
Kuartil dari sekumpulan data adalah nilai-nilai yang membagi empat secara sama dari sekumpulan data itu setelah diurutkan menurut besarnya.
a. Data yang tidak dikelompokkan

Contoh 3.8.
1. Tinggi badan 5 orang dewasa
165 167 168 170 171


Kuartil I :
Kuartil II : K2 = Median = 168
Kuartil III :
2. Berat badan 6 orang dewasa
55 57 58 60 60 65


Kuartil I : K1 = 57
Kuartil II :
Kuartil III : K3 = 60

b. Data yang dikelompokkan
Untuk mengitung Kuartil data yang telah dikelompokkan dalam bentuk distribusi frekuensi digunakan cara interpolasi, dengan menganggap bahwa data yang jatuh pada suatu interval letaknya tersebar merata dalam interval itu.


Rumus untuk menghitung Kuartil adalah
Kuartil I : c
Kuartil II : K2 = Median = Md = Lmd + c (3.5)
Kuartil III : c
dengan LK1 : batas bawah interval Kuartil I
Lmd : batas bawah interval median
LK2 : batas bawah interval Kuartil III
n : banyak data
F : jumlah frekuensi interval-interval sebelum interval Kuartil
fK1 : frekuensi interval Kuartil I
fmd : frekuensi interval median
fK3 : frekuensi interval Kuartil III
c : lebar interval
Interval Kuartil adalah interval dimana Kuartil itu berada.

Contoh 3.9.
dari tabel 2.1 diperoleh : n = 50 maka n/4 = 12,5
Jumlah frekuensi interval ke 1 dan ke 2 adalah 6+7 = 13
Sehingga harga Kuartil I terletak dalam interval ke-2, yaitu 167,5 - 170,5 dengan frekuensi 7. Interval kelas ini yang dinamakan interval Kuartil I.
maka LK1 = 167,5
n = 50
F = 6
FK1 = 7
c = 3
Kuartil I : K1 = 167,5 +
= 167,5 + 19,5/7 = 167,5 + 2,79 = 170,29
Kuartil II : K2 = Median =174,59
n = 50 maka 3n/4 = 37,5
Jumlah frekuensi interval ke 1 sampai ke 5 adalah 6+7+8+11+7 = 39
Sehingga median terletak dalam interval ke-5, yaitu 176,5 - 179,5 dengan frekuensi 7. Interval kelas ini yang dinamakan interval Kuartil II.
maka LK3 = 176,5
n = 50
F = 32
fmd = 7
c = 3
Jadi Kuartil III adalah
Kuartil III : K3 = 176,5 +
= 176,5 + 5,5/7 = 176,5 + 0,79 = 177,29

3.1.4 Modus
Modus dari sekumpulan data adalah nilai yang sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi dalam kumpulan data itu.

a. Data tidak dikelompokkan
Contoh 3.10.
Modus berat badan mahasiswa (contoh 3.6) adalah 60 karena 60 muncul 2 kali.

b. Data dikelompokkan
Modus = Lmo + (3.6)
dengan
Lmo : batas bawah interval modus
a : beda frekuensi antara interval modus dengan interval sebelumnya
b : beda frekuensi antara interval modus dengan interval sesudahnya.
c : lebar interval Interval modus
interval modus adalah interval yang mempunyai frekuensi tertinggi.

Contoh 3.11.
Dari tabel 2.1 : interval modus adalah interval ke-4 dengan frekuensi 11.
sehingga Lmo = 173,5
a = 11 - 8 = 3
b = 11 - 7 = 4
c = 3
Jadi modus adalah
Modus = 173,5 + 3 = 173,5 + 1,29 = 174,79

3.2. Ukuran Dispersi
Beberapa distribusi dapat mempunyai mean, median dan modus yang sama, namun bentuk distribusinya sangat berbeda. Dengan demikian diperlukan ukuran dispersi atau ukuran deviasi terhadap pusat datanya. Dispersi adalah karakteristik penting dari suatu data. Ukuran dipersi digunakan untuk melihat besarnya sebaran data. Beberapa ukuran dispersi yang akan dibicarakan: jangkauan, deviasi rata-rata, variansi dan deviasi standar.

3.2.1 Rentang
Rentang adalah selisih data terbesar dan terkecil.
Notasi: R

Contoh 3.12.
Berat badan (kg) 5 mahasiswa adalah sebagai berikut :
60 65 59 71 65
maka jangkauannya adalah
R = 71 - 60 = 11.

3.2.2 Deviasi rata-rata
Deviasi rata-rata adalah harga rata-rata penyimpangan tiap data terhadap meannya. Besar perbedaaan antara data dan meannya adalah harga mutlaknya.


a. Data tidak dikelompokkan
Misalnya x1, x2, ... , xn adalah sekumpulan data dengan mean , maka deviasi rata-ratanya adalah
dr = (3.7)

Contoh 3.13.
Dari data berat badan 5 orang dewasa, diperoleh mean = = 64
maka deviasi rata-rata :
xi
| xi - |

60 4

65 1

59 64 5

71 7

65 1

18


jadi dr = 18/5 = 3,6

b. Data dikelompokkan
Deviasi rata-rata untuk data yang dikelompokkan, dihitung dengan rumus :
dr = (3.8)
dengan xI : titik tengah inteval kelas ke-i
fI : frekuensi interval kelas ke-i
n : banyak data

Contoh 3.14.
Dari contoh 3.3 diperoleh mean adalah
Interval kelas xi fi | xi - |
fi | xi - |

164,5 - 167,5 166 6 8.64
51.84

167,5 - 170,5 169 7 5.64
39.48

170,5 - 173,5 172 8 2.64
21.12

173,5 - 176,5 175 9 0.36
3.24

176,5 - 179,5 178 8 3.36
26.88

179,5 - 182,5 181 7 6.36
44.52

182,5 - 185,5 184 5 9.36
46.8

Jumlah 50 233.88


Deviasi rata-rata = dr = 233,88/50 = 4,68

3.2.3 Variansi dan Deviasi Standar
Variansi sampel didefinisikan sebagai jumlah kuadrat deviasi terhadap mean sampel dibagi n - 1, yaitu :


a. Data tidak dikelompokkan
(3.9)
Deviasi standar sampel didefinisikan sebagai akar positif dari variansi sampel, yaitu : s =

Contoh 3.15.
xi
(xi - )2


60 16 3600
65 1 4225
59 64 25 3481
71 49 5041
65 1 4225
320 92 20572

jadi s2 = 92/4 = 23 atau



b. Data dikelompokkan
(3.10)
Deviasi standar sampel didefinisikan sebagai akar positif dari variansi sampel, yaitu :
s =

Contoh 3.16.
Interval kelas xi fi fi xi
fi

164,5 - 167,5 166 6 996 27556 165336
167,5 - 170,5 169 7 1183 28561 199927
170,5 - 173,5 172 8 1376 29584 236672
173,5 - 176,5 175 11 1925 30625 336875
176,5 - 179,5 178 7 1246 31684 221788
179,5 - 182,5 181 6 1086 32761 196566
182,5 - 185,5 184 5 920 33856 169280
Jumlah 50 1526444

Variansi : s2 = [ 1526444 - (8732)2 / 50 ] / 49
= [ 1526444 - 1524956,48 ] / 49
= 1487,52 / 49 = 30,36
Deviasi standar : s = 5,51

Cara lain dengan transformasi
ui : (xi - a) / c
dengan a adalah sembarang harga titik tengah interval kelas
Sehingga:
Variansi = s2 = c2


Deviasi standar = s = c su

Contoh 3.17.
Interval kelas xi UI fi fi ui
fi

164,5 - 167,5 166 -3 6 -18 9 54
167,5 - 170,5 169 -2 7 -14 4 28
170,5 - 173,5 172 -1 8 -8 1 8
173,5 - 176,5 175 0 11 0 0 0
176,5 - 179,5 178 1 7 7 1 7
179,5 - 182,5 181 2 6 12 4 24
182,5 - 185,5 184 3 5 15 9 45
Jumlah 50 6 166

maka : = [166 - (-6)2 / 50] / 49
= (166 - 0,72) / 49 = 165,28 / 49 = 3,373
sehingga s2 = 9 x 3,373 = 30,36
s = 5,51

Contoh 3.18. Menghitung ukuran tengah dan dispersi data menggunakan Minitab:
Data berikut menyatakan berat (dalam pound) per paket daging sapi disuatu super market.
1.08 0.99 0.97 1.18 1.41 1.28 0.83
1.06 1.14 1.38 0.75 0.96 1.08 0.87
0.89 0.89 0.96 1.12 1.12 0.93 1.24
0.89 0.98 1.14 0.92 1.18 1.17

Cara menghitung beberapa ukuran tengah dan disperse:
 Masukkan data dalam satu kolom, missal C2
 Pilih Stat Basic Statistics Display Discriptive Statistics
 pada kotak Variables, klik C2 kemudian klik select. Klik OK.
Hasilnya, sbb:
Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean
C2 27 1,0522 1,0600 1,0500 0,1657 0,0319

Variable Minimum Maximum Q1 Q3
C2 0,7500 1,4100 0,9200 1,1700


Latihan 3

1. Berikan contoh yang memperlihatkan bahwa median lebih baik digunakan sebagai wakil dari sekumpulan data dibandingkan dengan mean!

2. IQ rata-rata sepuluh mahasiswa yang mengambil kuliah statistika adalah 114. Jika sembilan mahasiswa diantaranya memiliki IQ 101, 125, 118, 128, 106, 115, 99, 118, dan 109
a. berapa IQ mahasiswa yang satu lagi?
b. hitung median dan deviasi standar IQ sepuluh mahasiswa tersebut!
Jawaban: 121

3. Jika tiap IQ sepuluh mahasiswa dari soal 2, dikurangi dengan 4, berapa rata-rata IQ yang baru ini? Bagaimana jika tiap IQ dengan 4?

4. Nilai rata-rata ujian statistika dari 45 mahasiswa adalah 75. Tiga mahasiswa mengikuti ujian susulan, sehingga nilai rata-rata keseluruhan menjadi 73. Hitunglah nilai rata-rata mahasiswa yang mengikuti ujian susulan tersebut!
Jawaban: 43

5. Nilai akhir dari 12 mahasiswa yang mengikuti ujian statistika adalah
73 74 92 98 100 72 75 89 56 74 90 43
Hitung Mean median dan Modus

6. Berikut ini adalah data nilai hasil ujian akhir Statistika 75 mahasiswa
86 75 68 66 60 45 26 82 76 66
73 61 51 28 30 55 62 71 69 80
83 32 56 62 72 68 80 87 85 79
71 65 57 34 39 50 64 70 78 90
70 65 56 40 96 74 41 54 58 68
75 97 77 69 59 55 37 45 49 47
67 51 60 66 67 77 65 53 43 42
72 81 48 70 80

Berdasarkan data tersebut
a. Buatlah distribusi frekuensinya.
b. Hitunglah ukuran tengah dan dispersi
c. Berapa persen mahasiswa yang nilainya lebih dari mean di kurangi deviasi standar?

7. Tabel di bawah ini menunjukkan distribusi frekuensi umur (tahun) 65 orang
karyawan pada perusahaan ABC yang mempunyai titik tengah xI dan frekuensi fi.

xi 20 25 30 35 40 45 50
fi 8 10 16 14 10 5 2

a. Hitunglah mean, modus, median dan kuartil
b. Hitunglah deviasi standar.
c. Berapa persen karyawan yang umurnya kurang dari median ?
d. Berapa persen karyawan yang umurnya di atas rata-rata?
e. Berapa persen karyawan yang umurnya lebih dari modus ?
f. Berapa persen karyawan yang umurnya kurang dari mean ditambah devasi standar ?
Jawaban:
a. mean=32,38; modus= 30; median=30; kuartil I=25; kuartil II=30;
kuartil III=40
b. 7,861
c. 27,6923%
d. 47,6923%
e. 27,6923%

8. Direktur rumah sakit X melakukan survay pada jumlah hari yang dihabiskan pasien di rumah sakit tersebut. Hasilnya adalah
Jumlah hari 1 - 3 4 - 6 7 - 9 10-12 13-15 16-18 19-21 22-24
Banyak pasien 32 108 67 28 14 7 3 1

a. Berapakah rata-rata waktu yang dihabiskan pasien ?
b. Berapa persen pasien yang sembuh kurang dari rata-rata ?
Jawaban:
a. 7,1 hari

9. Misalkan interval kelas median nilai ujian statistik adalah 45,5 – 57,5 dengan frekuensi relatif 0,2. Diketahui harga median 50 dan mean 48.
a. Berapa persen nilai ujian yang di bawah rata-rata ?
b. Berapa persen nilai ujian yang di atas median ?

10. Misalkan titik interval kelas median nilai ujian statistik adalah 50 dengan frekuensi relatif 0,15 dan lebar interval 11. Diketahui harga median 53, mean 47 dan modus 50. Hitunglah berapa persen nilai
a. di bawah rata-rata ?
b. di atas modus ?

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar