stat_inferensial

SUMBER UNTUK MEMPEROLEH MASALAH
a. Pengamatan terhadap kegiatan manusia;
b. Bacaan : Jurnal, majalah, buletin dsb;
c. Analisis bidang pengetahuan;
d. Ulangan serta perluasan penelitian;
e. Cabang studi yang sedang dikembangkan;
f. Pengalaman dan catatan pribadi;
g. Praktik serta keinginan masyarakat;
h. Bidang spesialisasi;
i. Plajaran dan mata ajaran yang sedang diikuti;
j. Pengamatan terhadap alam skeliling;
k. Diskusi-diskusi ilmiah.

MEMILIH VARIABEL
- Menentukan variabel yang akan digunakan dalam pengujian hipotesis;
- Ditetapkan, diidentifikasi; diklasifikasi;
- Jumlahnya tergantung dari sempit luasnya penelitian;
- Dalam ilmu eksakta, variabel dapat divisualisasikan;
- Umumnya variabel dibagi dua jenis : Variabel Kontunyu (Continous variable) dan Variabel Deskrit (Descrete variable): atau variabel dependen dan variabel bebas; atau variabel aktif dan variabel atribut.
- Variabel Kontinyu : dapat ditentukan nilainya dalam jarak jangkau tertentu; dapat dinyatakan dalam pecahan atau desimal;
- Variabel Diskrit : nilainya tak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau desimal; misalnya : jumlah anak; tingkat pendidikan;
- Variabel dependen dan variabel bebas. Variabel dependen adalah variabel yang tergantung atas variabel lain. Misal : konsumsi dan pendapatan : dengan bertmbahnya pndapatn,konsumsi bertambah�. Konsumsi menjadi variabel dependen, pendapatan menjadi variabel bebas. : Konsumsi merupakan fungsi dari pendapatan;
- Variabel Moderator dan variabel Random . Variabel moderator : variabel yang dianggap berpengaruh terhadapvariabel dependen, tetapi tidak mempunyai pengaruh utama, atau bukan sebagai penyebab utama. Variabel Random : tidak dimasukkan dalam persamaan hubungan;
- Variabel aktif : variabel yang dimanipulasi;
- Variabel atribut : tidak bisa / sukar dimanipulasi; biasanya berupa karakteristik manusia (intelegensia, status sosial, jenis kelamin, pendidikan, sikap dsb);

HIPOTESIS
1. Disusun berdasarkan Kerangka Berpikir;
2. Dibuat dalam setiap penelitian yang bersifat analitis; tidak perlu untuk penelitian deskriftif atau exploratory;
3. Kesimpulan atau pendapat yang masih kurang ; hypo = kurang dari, sementara; thesis = pendapat, pernyataan, teori ; kesimpulan masih sementara, belum final, masih perlu dibuktikan.
4. Dugaan yang mungkin benar, mungkin juga salah;
5. Jawaban sementara terhadap rumusan masalah atau sub masalah;
6. Masih harus diuji kebenarannya dengan data empirik atau penelitian;
7. Dinyatakan ditolak atau diterima. Ditolak jika salah / palsu; diterima jika fakta-faktanya benar;
8. Dirumuskan dalam kalimat positif, bukan kalimat tanya, menyeluruh, menyarankan, mengharapkan;

Fungsi :
a. Memperoleh kesimpulan tentang suatu masalah;
b. Memperjelas keadaan yang masih menjadi teka teki;
c. Mendapat arah dari suatu tindakan;
d. Membuat suatu prediksi yang mungkin;



Konsep:
1. Dugaan terhadap hubungan antara dua variabel atau lebih; (Kerlinger, 1996:16)
2. Jawaban atau dugaan sementara yang harus diuji lagi kebenarannya melalui penelitian ilmiah;
3. Hipotesis kerja / asli/alternatif: Ha atau H1;
4. Secara statistik , hipotesis: pernyataan mengenai keadaan populasi/ parameter yang akan diuji kebenarannya berdasarkan data yang diperoleh dari sampel penelitian (statistic);
5. Statistik : yang diuji adalah hipotesis nol / hipotesis statistik : Ho (pernyataan tidak adanya hubungan, pengaruh, perbedaan antara parameter dengan statistik. Lawannya : Ha : ada hubungan.
Macam :
Ada 3 macam hipotesis :
1. Hipotesis Deskriftif : dirumuskan untuk menentukan titik peluang, atau dirumuskan untuk menjawab pertanyaan taksiran/estimatif; Tidak membandingkan;
Disiplin kerja pegawai Fak. Teknik Untan sangat tinggi;
Yang menjadi estimasi adalah : sangat tinggi
2. Hipotesis Komparatif : memberi jawaban terhadap permasalahan yang bersifat membedakan;
Ada perbedaan daya ikat antara Semen Tiga Roda dengan Semen Padang.
3. Hipotesis Asosiatif : memberi jawaban pada permasalahan yang bersifat hubungan;
Menurut sifat hubungannya, ada tiga jenis hipotesis penelitian (Ha) :
1) Hipotesis hubungan simentris : Hubungan bersifat kebersamaan antara dua variabel atau lebih, tapi tidak menunjukkan sebab akibat;
Ada hubungan antara banyaknya mengikuti perkuliahan dengan nilai akhir mahasiswa


2) Hipotesis hubungan sebab akibat (kausal) : menyatakan hubungan yang saling mempengaruhi antara dua variabel atau lebih :
Disiplin pegawai yang tinggi berpengaruh positif terhadap produktifitas kerja.
3) Hipotesis hubungan interaktif : menyatakan hubungan antara dua variabel atau lebih bersifat saling mempengaruhi;
Terdapat pengaruh timbal balik antar kenaikan pangkat dengan tersedianya jabatan.
Parameter dan Statistik :
Parameter : Ukuran yang berlaku pada populasi
Simbolnya : tetha :
Statistik : Ukuran berkenaan sampel

Statistik Parametrik :
- Statistik yang cocok untuk menguji hipotesis tentang parameter populasi;
- Didasarkan atas asumsiyang ketat tentang keadaan populasi;
- Asumsi utamanya : populasi atau sampel harus berdistribusi normal, dipilih secara acak,mempunyai hubungan linier, data bersifat homogen;
- Lebih banyak bekerja dengan data interval dan ratio;
- Pasangannya : Statistik nonparametrik
Statistik nonparametrik :
- Tidak menganut asumsi bahwa data populasi /sampel harus berdistribusi normal, dipilih secara acak, mempunyi hubunagn linier, data bersifat homogen
- Statistik bebas distribusi;
- Lebih banyak bekerja dengan data ordinal dan nominal
Jika parameter diuji berdasarkan data sampel, digunakan statistik inferensial/induktif;
Kesalahan Dalam Menguji hipotesis :
- walaupun berdasarkan analisis statistik kita telah menolak atau menerima suatu hipotesis, hal ini belumlah memberikan kebenaran mutlak 100%. Hal ini disebabkan kita terbiasa bekerja dengan data sampel sehingga kekeliruan sampling slalu ada betapapun kecilnya.
- Ada dua macam kesalahan dalam menguji hipotesis :
1. Bila dinyatakan Ho diterima dan dibuktikan melalui penelitian menerimanya, maka kesimpulan yang dibuat adalah benar;
2. Bika dinytakan Ho diterima dan dibuktikan melalui penelitian ditolak,kesimpulan yang diambil disebut : Kesalahan Model I;
3. Bila Ho ditolak dan dibuktikan melalui penelitian menolaknya, kesimpulan yang dibuat adalah benar;
4. Bila ho ditolak dan dibuktikan mlaluipenelitian menerimanya, maka kesimpulan yang diambil iu mrupakan Kesalahan Model II
Contoh :
Tindakan investor dalam menanam modal :
Tindakan Investor Sebenarnya Penanaman Modal
Ho Benar Ho Salah
Menanam Modal Tindakan Benar Kesalahan Model II
Tidak Menanam Modal Kesalahan Model I Tindakan Benar
- Kedua model kesalahan dibuat sekecil-kecilnya;
- Keduanya dinyatakan dalam Peluang;
- Dalm penelitian : Kesalahan Model I sering disebut sebagai : tingkat signifikansi, taraf signifikan, taraf arti, taraf nyata,probabilitas, taraf kesalahan atau taraf kekeliruan.
Tingkat kesalahan dinyatakan dalam dua atau tiga desimal atau dalam persen;
Lawannya adalah Tingkat/taraf kepercayaan :
Taraf signifikan ; 5%
Taraf kepercayaan : 95%

ukuran lokasi dan dispersi

BAB III
UKURAN LOKASI DAN DISPERSI

Dalam pembicaraan yang lalu kita telah menyajikan data dalam bentuk tabel dan grafik yang bertujuan meringkaskan dan menggambarkan data kuantitatif, untuk mendapatkan gambaran yang lebih jelas tentang sekumpulan data. Selain data itu disajikan dalam tabel dan grafik, dapat juga disajikan dalam ukuran-ukuran yang merupakan wakil dari kumpulan data itu. Dalam bab ini akan dibicarakan tentang ukuran tengah dan dispersi.

3.1. Ukuran Lokasi
Salah satu ukuran numerik yang penting adalah ukuran lokasi, yaitu suatu ukuran sepanjang garis horizontal yang letaknya ditengah distribusi data. Ukuran lokasi sekumpulan data adalah nilai yang representatif bagi keseluruhan nilai data atau dapat menggambarkan distribusi data itu, khususnya dalam hal letaknya (lokasinya). Nilai tersebut dihitung dari keseluruhan data bersangkutan sehingga cenderung terletak diurutan tengah atau pusat setelah data diurutkan menurut besarnya. Oleh karena itu, nilai tunggal tersebut sering dinamakan ukuran tendensi sentral (measures of central tendency) atau ukuran nilai sentral (measures of central value).
Beberapa ukuran lokasi yang akan dibicarakan adalah mean, mean terbobot, median, kuartil dan modus.


3.1.1 Mean dan Mean Terbobot
Mean atau rata-rata sering juga disebut sebagai arithmatic mean. Untuk membedakan antara mean sampel dan mean populasi, dalam tulisan ini digunakan symbol ( -bar) untuk menyatakan mean sample dan untuk mean populasi.

a. Data tidak dikelompokkan
Mean suatu himpunan yang terdiri dari n observasi / data adalah jumlah semua observasi dibagi n.

Definisi 3.1
Dipunyai sampel berukuran n dengan elemen x1, x2, ..., xn
maka mean sampel itu adalah
(x1 + x2 + ... + xn)/n
atau (3.1)
Contoh 3.1
Diketahui sampel penimbangan berat badan 5 orang dewasa dalam kg adalah
60 65 59 71 65
maka rata-rata (mean) berat badan ,
= (60 + 65 + 59 + 71 + 65)/5 = 320/5 = 64

Pada waktu kita menghitung mean suatu kumpulan data, kita anggap bahwa semua nilai observasi itu sama “penting” dan diberi bobot yang sama dalam perhitungan. Dalam situasi di mana nilai data tidak sama penting, kita dapat menetapkan bobot untuk setiap nilai data itu yang proporsional terhadap derajat kepentingan dan kemudian dihitung mean terbobot.

Definisi 3.2 :
Misal v1, v2, ... , vk adalah himpunan k nilai dan w1, w2, ..., wk bobot yang diberikan kepada nilai-nilai itu maka mean terbobot adalah
(3.2)


Contoh 3.2 .
Misalkan seorang mahasiswa mengambil matakuliah X dengan 3 sks dan memperoleh nilai A = 4 (w1 = 3, v1 = 4) dan mata kuliah Y dengan 2 sks dan memperoleh nilai D = 1 (w2 = 2, v2 = 1) serta mata kuliah Z dengan 1 sks dan memperoleh nilai B = 3 (w3 = 1, v3 = 3) maka indeks prestasinya adalah

Prosedur pembobotan juga digunakan dalam menghitung mean dari beberapa himpunan data yang dikombinasikan. Misalnya kita mempunyai m himpunan data terdiri atas n1, n2, …,nm nilai observasi dengan mean masing-masing adalah . Mean kombinasi data ini adalah mean terbobot dari individual mean, yaitu :


contoh 3.3.
Tiga kelompok data masing-masing terdiri dari 10, 6, dan 8. Sedang rata-rata masing-masing kelompok adalah 145, 118, dan 162.
Jika data digabung jadi satu, maka rata-ratanya adalah


b. Data dikelompokkan
Data dikelompokkan adalah sekumpulan data yang telah disederhanakan dalam bentuk distribusi frekuensi. Harga mean yang diperoleh merupakan harga pendekatan, dengan anggapan bahwa nilai yang terletak pada suatu interval kelas sama dengan harga titik tengahnya. Mean yang diperoleh merupakan mean terbobot dengan nilai bobotnya sama dengan nilai frekuensinya.

Definisi 3.3 :
Mean data yang dikelompokkan adalah
(3.3)
dengan xi : titik tengan interval kelas ke-i
fi : frekuensi interval kelas ke-i
n : banyaknya data

Contoh 3.4.
Untuk menghitung data pada contoh 2.1, kita gunakan tabel seperti di bawah ini.
Interval kelas xi fi fi xi
164,5 - 167,5 166 6 996

167,5 - 170,5 169 7 1183

170,5 - 173,5 172 8 1376

173,5 - 176,5 175 11 1925

176,5 - 179,5 178 7 1246

179,5 - 182,5 181 6 1086

182,5 - 185,5 184 5 920

Jumlah 50 8732

sehingga = 8732/50 = 174,64

Cara lain dengan transformasi
ui = (xi - a) / c
dengan xi : titik tengah interval kelas ke-i
a : sembarang harga titik tengah interval kelas
c : lebar interval kelas
sehingga mean adalah
dengan (3.4)

Contoh 3.5.
Untuk contoh di atas, transformasinya adalah
ui = (xi - a) / c = (xi - 175) / 3
kemudian dibuat tabel hasil transformasi, yaitu :

Interval kelas xi ui fi fi ui
164,5 - 167,5 166 -3 6 -18
167,5 - 170,5 169 -2 7 -14
170,5 - 173,5 172 -1 8 -8
173,5 - 176,5 175 0 11 0
176,5 - 179,5 178 1 7 7
179,5 - 182,5 181 2 6 12
182,5 - 185,5 184 3 5 15
Jumlah 50
-6



maka = -6/50 = -0,12
sehingga = c + a = 3( - 0,12) + 175 = -0,36 + 175 = 174,64

3.1.2 Median
Median dari sekumpulan data adalah nilai yang berada di tengah dari sekumpulan data itu setelah diurutkan menurut besarnya.

a. Data yang tidak dikelompokkan
Contoh 3.6 :
1. Tinggi badan 5 orang dewasa
165 167 168 170 171
median = 168
2. Berat badan 6 orang dewasa
55 57 58 60 60 65

median = (58 + 60) / 2 = 59

b. Data yang dikelompokkan
Untuk mengitung median data yang telah dikelompokkan dalam bentuk distribusi frekuensi digunakan cara interpolasi, dengan menganggap bahwa data yang jatuh pada suatu interval letaknya tersebar merata dalam interval itu.
Rumus untuk menghitung median adalah
Median = Md = Lmd + c (3.5)
dengan Lmd : batas bawah interval median
n : banyak data
F : jumlah frekuensi interval-interval sebelum interval median
fmd : frekuensi interval median
c : lebar interval

Interval median adalah interval dimana median itu berada, diperoleh dengan menghitung harga yang nomor ke-n/2 menurut urutan frekuensinya dari atas ke bawah (dari bawah ke atas).

Contoh 3.7
dari tabel 2.1
n = 50 maka n/2 = 25 (untuk n ganjil, gunakan (n+1)/2)
Urutan frekuensi dari atas ke bawah 6+7+8+11 = 32
Sehingga harga median terletak dalam interval ke-4, yaitu 173,5 - 176,5 dengan frekuensi 11. Interval kelas ini yang dinamakan interval median.
maka Lmd = 173,5
n = 50
F = 21
fmd = 11
c = 3
Jadi median adalah
Median = Md = 173,5 +

3.1.3 Kuartil
Kuartil dari sekumpulan data adalah nilai-nilai yang membagi empat secara sama dari sekumpulan data itu setelah diurutkan menurut besarnya.
a. Data yang tidak dikelompokkan

Contoh 3.8.
1. Tinggi badan 5 orang dewasa
165 167 168 170 171


Kuartil I :
Kuartil II : K2 = Median = 168
Kuartil III :
2. Berat badan 6 orang dewasa
55 57 58 60 60 65


Kuartil I : K1 = 57
Kuartil II :
Kuartil III : K3 = 60

b. Data yang dikelompokkan
Untuk mengitung Kuartil data yang telah dikelompokkan dalam bentuk distribusi frekuensi digunakan cara interpolasi, dengan menganggap bahwa data yang jatuh pada suatu interval letaknya tersebar merata dalam interval itu.


Rumus untuk menghitung Kuartil adalah
Kuartil I : c
Kuartil II : K2 = Median = Md = Lmd + c (3.5)
Kuartil III : c
dengan LK1 : batas bawah interval Kuartil I
Lmd : batas bawah interval median
LK2 : batas bawah interval Kuartil III
n : banyak data
F : jumlah frekuensi interval-interval sebelum interval Kuartil
fK1 : frekuensi interval Kuartil I
fmd : frekuensi interval median
fK3 : frekuensi interval Kuartil III
c : lebar interval
Interval Kuartil adalah interval dimana Kuartil itu berada.

Contoh 3.9.
dari tabel 2.1 diperoleh : n = 50 maka n/4 = 12,5
Jumlah frekuensi interval ke 1 dan ke 2 adalah 6+7 = 13
Sehingga harga Kuartil I terletak dalam interval ke-2, yaitu 167,5 - 170,5 dengan frekuensi 7. Interval kelas ini yang dinamakan interval Kuartil I.
maka LK1 = 167,5
n = 50
F = 6
FK1 = 7
c = 3
Kuartil I : K1 = 167,5 +
= 167,5 + 19,5/7 = 167,5 + 2,79 = 170,29
Kuartil II : K2 = Median =174,59
n = 50 maka 3n/4 = 37,5
Jumlah frekuensi interval ke 1 sampai ke 5 adalah 6+7+8+11+7 = 39
Sehingga median terletak dalam interval ke-5, yaitu 176,5 - 179,5 dengan frekuensi 7. Interval kelas ini yang dinamakan interval Kuartil II.
maka LK3 = 176,5
n = 50
F = 32
fmd = 7
c = 3
Jadi Kuartil III adalah
Kuartil III : K3 = 176,5 +
= 176,5 + 5,5/7 = 176,5 + 0,79 = 177,29

3.1.4 Modus
Modus dari sekumpulan data adalah nilai yang sering muncul atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi dalam kumpulan data itu.

a. Data tidak dikelompokkan
Contoh 3.10.
Modus berat badan mahasiswa (contoh 3.6) adalah 60 karena 60 muncul 2 kali.

b. Data dikelompokkan
Modus = Lmo + (3.6)
dengan
Lmo : batas bawah interval modus
a : beda frekuensi antara interval modus dengan interval sebelumnya
b : beda frekuensi antara interval modus dengan interval sesudahnya.
c : lebar interval Interval modus
interval modus adalah interval yang mempunyai frekuensi tertinggi.

Contoh 3.11.
Dari tabel 2.1 : interval modus adalah interval ke-4 dengan frekuensi 11.
sehingga Lmo = 173,5
a = 11 - 8 = 3
b = 11 - 7 = 4
c = 3
Jadi modus adalah
Modus = 173,5 + 3 = 173,5 + 1,29 = 174,79

3.2. Ukuran Dispersi
Beberapa distribusi dapat mempunyai mean, median dan modus yang sama, namun bentuk distribusinya sangat berbeda. Dengan demikian diperlukan ukuran dispersi atau ukuran deviasi terhadap pusat datanya. Dispersi adalah karakteristik penting dari suatu data. Ukuran dipersi digunakan untuk melihat besarnya sebaran data. Beberapa ukuran dispersi yang akan dibicarakan: jangkauan, deviasi rata-rata, variansi dan deviasi standar.

3.2.1 Rentang
Rentang adalah selisih data terbesar dan terkecil.
Notasi: R

Contoh 3.12.
Berat badan (kg) 5 mahasiswa adalah sebagai berikut :
60 65 59 71 65
maka jangkauannya adalah
R = 71 - 60 = 11.

3.2.2 Deviasi rata-rata
Deviasi rata-rata adalah harga rata-rata penyimpangan tiap data terhadap meannya. Besar perbedaaan antara data dan meannya adalah harga mutlaknya.


a. Data tidak dikelompokkan
Misalnya x1, x2, ... , xn adalah sekumpulan data dengan mean , maka deviasi rata-ratanya adalah
dr = (3.7)

Contoh 3.13.
Dari data berat badan 5 orang dewasa, diperoleh mean = = 64
maka deviasi rata-rata :
xi
| xi - |

60 4

65 1

59 64 5

71 7

65 1

18


jadi dr = 18/5 = 3,6

b. Data dikelompokkan
Deviasi rata-rata untuk data yang dikelompokkan, dihitung dengan rumus :
dr = (3.8)
dengan xI : titik tengah inteval kelas ke-i
fI : frekuensi interval kelas ke-i
n : banyak data

Contoh 3.14.
Dari contoh 3.3 diperoleh mean adalah
Interval kelas xi fi | xi - |
fi | xi - |

164,5 - 167,5 166 6 8.64
51.84

167,5 - 170,5 169 7 5.64
39.48

170,5 - 173,5 172 8 2.64
21.12

173,5 - 176,5 175 9 0.36
3.24

176,5 - 179,5 178 8 3.36
26.88

179,5 - 182,5 181 7 6.36
44.52

182,5 - 185,5 184 5 9.36
46.8

Jumlah 50 233.88


Deviasi rata-rata = dr = 233,88/50 = 4,68

3.2.3 Variansi dan Deviasi Standar
Variansi sampel didefinisikan sebagai jumlah kuadrat deviasi terhadap mean sampel dibagi n - 1, yaitu :


a. Data tidak dikelompokkan
(3.9)
Deviasi standar sampel didefinisikan sebagai akar positif dari variansi sampel, yaitu : s =

Contoh 3.15.
xi
(xi - )2


60 16 3600
65 1 4225
59 64 25 3481
71 49 5041
65 1 4225
320 92 20572

jadi s2 = 92/4 = 23 atau



b. Data dikelompokkan
(3.10)
Deviasi standar sampel didefinisikan sebagai akar positif dari variansi sampel, yaitu :
s =

Contoh 3.16.
Interval kelas xi fi fi xi
fi

164,5 - 167,5 166 6 996 27556 165336
167,5 - 170,5 169 7 1183 28561 199927
170,5 - 173,5 172 8 1376 29584 236672
173,5 - 176,5 175 11 1925 30625 336875
176,5 - 179,5 178 7 1246 31684 221788
179,5 - 182,5 181 6 1086 32761 196566
182,5 - 185,5 184 5 920 33856 169280
Jumlah 50 1526444

Variansi : s2 = [ 1526444 - (8732)2 / 50 ] / 49
= [ 1526444 - 1524956,48 ] / 49
= 1487,52 / 49 = 30,36
Deviasi standar : s = 5,51

Cara lain dengan transformasi
ui : (xi - a) / c
dengan a adalah sembarang harga titik tengah interval kelas
Sehingga:
Variansi = s2 = c2


Deviasi standar = s = c su

Contoh 3.17.
Interval kelas xi UI fi fi ui
fi

164,5 - 167,5 166 -3 6 -18 9 54
167,5 - 170,5 169 -2 7 -14 4 28
170,5 - 173,5 172 -1 8 -8 1 8
173,5 - 176,5 175 0 11 0 0 0
176,5 - 179,5 178 1 7 7 1 7
179,5 - 182,5 181 2 6 12 4 24
182,5 - 185,5 184 3 5 15 9 45
Jumlah 50 6 166

maka : = [166 - (-6)2 / 50] / 49
= (166 - 0,72) / 49 = 165,28 / 49 = 3,373
sehingga s2 = 9 x 3,373 = 30,36
s = 5,51

Contoh 3.18. Menghitung ukuran tengah dan dispersi data menggunakan Minitab:
Data berikut menyatakan berat (dalam pound) per paket daging sapi disuatu super market.
1.08 0.99 0.97 1.18 1.41 1.28 0.83
1.06 1.14 1.38 0.75 0.96 1.08 0.87
0.89 0.89 0.96 1.12 1.12 0.93 1.24
0.89 0.98 1.14 0.92 1.18 1.17

Cara menghitung beberapa ukuran tengah dan disperse:
 Masukkan data dalam satu kolom, missal C2
 Pilih Stat Basic Statistics Display Discriptive Statistics
 pada kotak Variables, klik C2 kemudian klik select. Klik OK.
Hasilnya, sbb:
Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean
C2 27 1,0522 1,0600 1,0500 0,1657 0,0319

Variable Minimum Maximum Q1 Q3
C2 0,7500 1,4100 0,9200 1,1700


Latihan 3

1. Berikan contoh yang memperlihatkan bahwa median lebih baik digunakan sebagai wakil dari sekumpulan data dibandingkan dengan mean!

2. IQ rata-rata sepuluh mahasiswa yang mengambil kuliah statistika adalah 114. Jika sembilan mahasiswa diantaranya memiliki IQ 101, 125, 118, 128, 106, 115, 99, 118, dan 109
a. berapa IQ mahasiswa yang satu lagi?
b. hitung median dan deviasi standar IQ sepuluh mahasiswa tersebut!
Jawaban: 121

3. Jika tiap IQ sepuluh mahasiswa dari soal 2, dikurangi dengan 4, berapa rata-rata IQ yang baru ini? Bagaimana jika tiap IQ dengan 4?

4. Nilai rata-rata ujian statistika dari 45 mahasiswa adalah 75. Tiga mahasiswa mengikuti ujian susulan, sehingga nilai rata-rata keseluruhan menjadi 73. Hitunglah nilai rata-rata mahasiswa yang mengikuti ujian susulan tersebut!
Jawaban: 43

5. Nilai akhir dari 12 mahasiswa yang mengikuti ujian statistika adalah
73 74 92 98 100 72 75 89 56 74 90 43
Hitung Mean median dan Modus

6. Berikut ini adalah data nilai hasil ujian akhir Statistika 75 mahasiswa
86 75 68 66 60 45 26 82 76 66
73 61 51 28 30 55 62 71 69 80
83 32 56 62 72 68 80 87 85 79
71 65 57 34 39 50 64 70 78 90
70 65 56 40 96 74 41 54 58 68
75 97 77 69 59 55 37 45 49 47
67 51 60 66 67 77 65 53 43 42
72 81 48 70 80

Berdasarkan data tersebut
a. Buatlah distribusi frekuensinya.
b. Hitunglah ukuran tengah dan dispersi
c. Berapa persen mahasiswa yang nilainya lebih dari mean di kurangi deviasi standar?

7. Tabel di bawah ini menunjukkan distribusi frekuensi umur (tahun) 65 orang
karyawan pada perusahaan ABC yang mempunyai titik tengah xI dan frekuensi fi.

xi 20 25 30 35 40 45 50
fi 8 10 16 14 10 5 2

a. Hitunglah mean, modus, median dan kuartil
b. Hitunglah deviasi standar.
c. Berapa persen karyawan yang umurnya kurang dari median ?
d. Berapa persen karyawan yang umurnya di atas rata-rata?
e. Berapa persen karyawan yang umurnya lebih dari modus ?
f. Berapa persen karyawan yang umurnya kurang dari mean ditambah devasi standar ?
Jawaban:
a. mean=32,38; modus= 30; median=30; kuartil I=25; kuartil II=30;
kuartil III=40
b. 7,861
c. 27,6923%
d. 47,6923%
e. 27,6923%

8. Direktur rumah sakit X melakukan survay pada jumlah hari yang dihabiskan pasien di rumah sakit tersebut. Hasilnya adalah
Jumlah hari 1 - 3 4 - 6 7 - 9 10-12 13-15 16-18 19-21 22-24
Banyak pasien 32 108 67 28 14 7 3 1

a. Berapakah rata-rata waktu yang dihabiskan pasien ?
b. Berapa persen pasien yang sembuh kurang dari rata-rata ?
Jawaban:
a. 7,1 hari

9. Misalkan interval kelas median nilai ujian statistik adalah 45,5 – 57,5 dengan frekuensi relatif 0,2. Diketahui harga median 50 dan mean 48.
a. Berapa persen nilai ujian yang di bawah rata-rata ?
b. Berapa persen nilai ujian yang di atas median ?

10. Misalkan titik interval kelas median nilai ujian statistik adalah 50 dengan frekuensi relatif 0,15 dan lebar interval 11. Diketahui harga median 53, mean 47 dan modus 50. Hitunglah berapa persen nilai
a. di bawah rata-rata ?
b. di atas modus ?

materi statprob baru

4.1 PENDAHULUAN
Pembuatan kesimpulan mengenai segala sifat populasi dilakukan menggunakan sifat-sifat atau karakteristik sampel yang diambil dari populasi yang didapat. Kesimpulan yang dibuat disebut kesimpulan statistis yang untuk singkatnya dikatakan sebagai kesimpulan.
Untuk memperoleh kesimpulan, biasanya didahului oleh pengandaian atau asumsi mengenai populasi yang mungkin betul ataupun mungkin tidak betul dan disebut Hipotesis Statistis atau disingkat Hipotesis dan biasa dilambangkan dengan H0 (baca : H nol). Hipotesis inilah yang akan diteliti menggunakan karakteristik sampel yang diambil dari populasi yang sedang ditinjau. Apabila ternyata penelitian berdasarkan sampel ini, dalam batas-batas tertentu, memperlihatkan adanya kesesuaian dengan hipotesis, maka akan dikatakan hipotesis nol diterima. Ini berarti hipotesis nol telah dibenarkan. Apabila penelitian itu, dalam batas-batas tertentu tidak memperlihatkan kesesuaian dengan hipotesis nol, maka dikatakan bahwa hipotesis nol ditolak. Dengan ini diartikan bahwa antara hasil penelitian dan hipotesis nol masih terdapat perbedaan yang berarti.
Pengandaian lain yang berbeda / bertentangan dengan hipotesis nol dinamakan hipotesis alternatif atau disingkat saja dengan alternatif dan dilambangkan dengan H1 (baca : H satu). Berdasarkan penelitian yang dilakukan itu apabila menerima hipotesis nol tentunya mengakibatkan menolak alternatif dan menerima alternatif sama dengan menolak hipotesis nol. Cara atau langkah yang membawa kepada penentuan untuk menerima atau menolak hipotesis nol dinamakan pengujian hipotesis. Berdasarkan hasil pengujian inilah akhirnya kesimpulan akan dibuat.

4.2 DUA MACAM KEKELIRUAN
Penelitian yang dilakukan kemudian bermuara pada hasil akhir untuk menerima atau menolak hipotesis nol. Pada waktu menerima atau menolak hipotesis nol ini, selama hipotesis yang dibuat mungkin benar atau tidak benar, dan selama penelitian pada umumnya hanya berdasarkan pada sebuah sampel, akan terjadi hal-hal sebagai berikut :
a. Jika H0 benar dan berdasarkan penelitian yang dilakukan akan diterima (berarti menolak H1), maka keputusan yang diambil merupakan langkah yang benar.
b. Demikian pula, apabila H0 tidak benar dan penelitian menolaknya, jadi H1 diterima, maka tentulah keputusan yang diambil merupakan langkah yang benar.
c. Jika H0 benar, tetapi berdasarkan penelitian ditolak, ini berarti telah menentukan untuk menerima alternatif H1. Maka kesimpulan yang telah diambil adalah suatu kekeliruan. Kekeliruan ini, dalam statistika dikenal dengan Kekeliruan Macam I, atau kekeliruan . Jadi kekeliruan  adalah kekeliruan yang terjadi pada waktu membuat kesimpulan mengenai sesuatu yang seharusnya diterima tetapi kesimpulan dari penelitian menolaknya.
d. Sebaliknya apabila H0 tidak benar sedangkan penelitian menyatakan harus menerimanya, maka kesimpulan yang telah diambil merupakan suatu kekeliruan. Kekeliruan ini dikenal dengan kekeliruan macam II atau kekeliruan . Jadi kekeliruan  adalah kekeliruan yang terjadi pada waktu membuat kesimpulan daripada sesuatu yang seharusnya ditolak, tetapi penelitian mengatakan untuk menerimanya.

Itulah hal-hal yang mungkin terjadi pada waktu menyimpulkan populasi melalui pengujian hipotesis. Bila hal-hal di atas disusun dalam daftar agar lebih mudah untuk diingat, akan diperoleh :

KEKELIRUAN MEMBUAT KESIMPULAN

Kesimpulan Keadaan Sebenarnya
H Benar A Benar
H diterima Kesimpulan benar Kekeliruan macam II ()
A diterima Kekeliruan macam I () Kesimpulan benar
Tabel 4.1 : Tabel kesimpulan dan model kesalahan yang terjadi

Karena dalam pengambilan kesimpulan selalu diikuti dengan kemungkinan terjadinya kesalahan baik  maupun , maka setiap pengujian harus merencanakan sedemikian rupa sehingga kekeliruan-kekeliruan  dan  pada waktu membuat kesimpulan ditekan hingga sekecil mungkin. Tetapi dalam pelaksanaannya tidaklah mudah karena untuk sebuah sampel yang diketahui, usaha untuk memperkecil kekeliruan yang satu akan menyebabkan besarnya kekeliruan yang lain. Sehingga berdasarkan kenyatan tersebut, dalam prakteknya cukup diperhatikan kekeliruan atau resiko mana yang dianggap lebih penting untuk dihindari.
Besar kecilnya resiko pada waktu membuat kekeliruan ( atau ), biasanya dinyatakan dalam bentuk peluang. Peluang diperbuatnya kekeliruan macam I, (peluang menerima H1 apabila sebenarnya H0 yang harus diterima), dinamakan taraf signifikan atau taraf nyata atau disebut juga taraf arti. Peluang ini, sering dinyatakan dengan  , biasanya ditentukan lebih dahulu sebelum penelitian terhadap sampel dilakukan. Penentuan besarnya  ini mencerminkan besarnya resiko yang akan ditanggung dalam penelitian. Berdasarkan harga yang telah ditentukan itulah akan diketahui batas-batas untuk menentukan apakah pengujian akan menerima H0 atau menolaknya.
Dalam banyak hal ternyata dengan mengambil taraf nyata , atau disebut pula resiko  , sebesar 0,01 atau 0,05 akan memberikan hasil pengujian yang memuaskan. Tentu saja nilai  yang lain boleh digunakan apabila ternyata dengan nilai tersebut akan mengakibatkan diperoleh risiko  yang lebih kecil dan pula hasil pengujian akan dapat dianggap lebih memuaskan.
Arti mengenai besar nilai  ini adalah bahwa dari tiap 100 hipotesis nol yang seharusnya diterima kira-kira 100  ditolak. Dikatakan bahwa 100(1 -  ) % kesimpulan yang dibuat benar.

Contoh :
Seorang pengusaha ingin menentukan apakah perlu atau tidak ia memasang iklan mengenai barangnya dalam sebuah surat kabar di suatu kota. Apabila diperkirakan akan ada faedahnya, maka jelas ia perlu memasang iklan. Tetapi tentulah ia tidak akan melakukan jika sebaliknya. Dari uraian di atas, dapat dirumuskan sebagai berikut :
TINDAKAN YANG DILAKUKAN PENGUSAHA
MENGENAI PEMASANGAN IKLAN
Tindakan
yang dilakukan Sebenarnya pemasangan iklan
Berfaedah Tidak Berfaedah
Memasang iklan Tindakan benar Tindakan keliru.
Kekeliruan macam II
Tidak memasang iklan Tindakan keliru.
Kekeliruan macam I Tindakan benar

Kesimpulan statistis yang akan dibuat adalah mengenai populasi melalui sifat-sifatnya yang berupa parameter populasi antara lain rata-rata , perbandingan  dan simpangan baku . Nilai-nilai inilah yang akan diuji dan disimpulkan melalui pengujian hipotesis.
Langkah-langkah uji hipotesis dan membuat kesimpulan didahului dengan perumusan hipotesis dan alternatifnya sebagai berikut :
a. Perumusan hipotesis H0 yang akan diuji disertai keterangan seperlunya. Perumusan ini dibuat sesuai dengan persoalan yang dihadapi. Ada tiga hal yang biasa digunakan :
1) Hipotesis mengandung pengertian sama.
Jika ingin menguji dugaan bahwa pada umumnya masa pakai pesawat TV sekitar 10.000 jam umpamanya, maka perumusan yang dapat digunakan adalah :
H0 :  = 10.000 jam,
berarti bahwa pesawat TV itu sesuai dengan yang diperkirakan, ialah rat-rata 10.000 jam.
Untuk menguji pikiran bahwa hanya sekitar 40% saja dari orang yang masuk ke toko swalayan yang ternyata berbelanja, dapat digunakan perumusan :
H0 :  = 40 %
berarti hanya sekitar 40 % saja yang masuk ke toko yang ternyata berbelanja.
2) Hipotesis mengandung pengertian maksimum.
Misalnya untuk menguji pernyataan bahwa dalam pengiriman barang terdapat kerusakan paling besar 5%, perumusan sebagai berikut dapat dipergunakan :
H0 :   5 %
berarti kerusakan dalam pengiriman barang maksimum 5%.
3) Hipotesis mengandung pengertian minimum.
Jika ingin menguji bahwa pakaian dapat dipakai pada umumnya paling cepat rusak dalam tempo 180 hari, dapat dibuat perumusan :
H0 :   180 hari
berarti paling cepat kain itu pada umumnya akan rusak dalam tempo 180 hari.

b. Perumusan Alternatif (H1) yang sesuai dengan H0
Isi dari alternatif H1 itu bertentangan dengan hipotesis H0, sehingga berdasarkan penelitian nanti dengan mudah ditentukan apakah akan memilih H0 atau H1. Sesuai dengan adanya tiga hal mengenai H0 yang mungkin, maka untuk perumusan H1 pun akan ada tiga hal.
1) Sebagai imbangan perumusan H0 yang mengandung pengertian sama, maka H1 harus mengandung pengetian tidak sama. Untuk soal masa pakai pesawat TV dalam contoh di atas, H1 menjadi :
H1 :   10.000 jam,
berarti bahwa pesawat TV itu tidak sesuai dengan 10.000 jam.
2) Sebagai imbangan perumusan H0 yang mengandung pengertian maksimum, maka H1 harus mengandung pengertian minimum. Untuk soal keru-sakan dalam pengiriman barang dalam contoh di atas, H1 menjadi :
H1 :  > 5 %
berarti kerusakan dalam pengiriman barang lebih besar dari 5% (atau minimum 5%).
3) Sebagai imbangan perumusan H0 yang mengandung pengertian minimum, maka H1 harus mengandung pengertian maksimum. Untuk soal masa pakai pakaian dalam contoh di atas, H1 menjadi :
H1 :  < 180 hari
berarti paling lama kain itu akan rusak dalam tempo 180 hari.


4.3 UJI BEDA RATA-RATA

4.3.1 One Sample Test

a. Sampel Besar (n30)
Langkah-langkah uji hipotesis :
1. Menyusun H0 dan H1 (ada 3 macam hipotesis)
a.
b.
c.
2. Menentukan level of significance ()
3. Menentukan peraturan-peraturan pengujiannya / kriterianya









Gambar 4.1 : Pengujian dua sisi
H0 diterima apabila

H0 ditolak apabila

b.







Sampel Kecil (n<30)

Gambar 4.2 : Pengujian satu sisi kanan

H0 diterima apabila
H0 ditolak apabila

c.








Gambar 4.3 : Pengujian satu sisi kiri

H0 diterima apabila
H0 ditolak apabila
4. Dari sampel yang diambil, dihitung nilai Z dengan rumus :



dengan :
adalah rata-rata sampel
adalah rata-rata populasi sebagai pembanding
adalah standar deviasi sampel
banyaknya titik sampel
5. Bandingkan langkah ke 3 dan ke 4 untuk diambil kesimpulan.

Contoh :
Suatu pabrik dengan kapasitas produksi 880 ton perhari. Namun, semenjak ada perbaikan mesin, diduga ada perubahan jumlah produksi setiap harinya. Untuk pengujian, diambil sampel sebanyak 50 hari dengan rata-rata hitung=871 ton dan standar deviasi=21 ton. Apa kesimpulan yang dapat diambil ?

Jawab :
1. ton
ton
2.
maka
Z=1,96
3. Kriteria pengujian














H0 diterima jika
H0 ditolak jika atau
4.
5. Karena -3,03 < -1,96 maka H0 ditolak
Kesimpulan :
Hasil produksi setiap harinya tidak sama dengan 880 ton.

b. Sampel kecil (n<30)
Langkah pengujian pada dasarnya sama dengan sampel besar, kecuali pada kriteria pengujian dan perhitungan nilai t hitung.
1. Menyusun H0 dan H1 (ada 3 macam hipotesis)
a.
b.
c.
2. Menentukan level of significance ()
4. Menentukan peraturan-peraturan pengujiannya / kriterianya










Gambar 4.1 : Pengujian dua sisi
H0 diterima apabila :
H0 ditolak apabila :

b.








Gambar 4.2 : Pengujian satu sisi kanan

H0 diterima apabila
H0 ditolak apabila



c.







Gambar 4.3 : Pengujian satu sisi kiri

H0 diterima apabila
H0 ditolak apabila

5. Dari sampel yang diambil, dihitung nilai Z dengan rumus :



dengan :
adalah rata-rata sampel
adalah rata-rata populasi sebagai pembanding
adalah standar deviasi sampel
banyaknya titik sampel
5. Bandingkan langkah ke 3 dan ke 4 untuk diambil kesimpulan.

4.3.2 Independent Sample Test
a. Sampel Besar (n30)
Langkah-langkah uji hipotesis :
1. Menyusun H0 dan H1 (ada 3 macam hipotesis)
a.
b.
c.
2. Menentukan level of significance ()
3. Menentukan peraturan-peraturan pengujiannya / kriterianya

a.








Gambar 4.1 : Pengujian dua sisi

H0 diterima apabila
H0 ditolak apabila






b.






Sampel Kecil (n<30)


Gambar 4.2 : Pengujian satu sisi kanan

H0 diterima apabila
H0 ditolak apabila

c.








Gambar 4.3 : Pengujian satu sisi kiri

H0 diterima apabila
H0 ditolak apabila
4. Dari sampel yang diambil, dihitung nilai Z dengan rumus :



dengan :
adalah rata-rata sampel
adalah rata-rata populasi sebagai pembanding
adalah standar deviasi sampel
banyaknya titik sampel
6. Bandingkan langkah ke 3 dan ke 4 untuk diambil kesimpulan.
b. Sampel Kecil (n<30)
Langkah pengujian pada dasarnya sama dengan sampel besar, kecuali pada kriteria pengujian dan perhitungan nilai t hitung.
1. Menyusun H0 dan H1 (ada 3 macam hipotesis)
a.
b.
d.
2. Menentukan level of significance ()







7. Menentukan peraturan-peraturan pengujiannya / kriterianya










Gambar 4.1 : Pengujian dua sisi

H0 diterima apabila :
H0 ditolak apabila :
b.










Gambar 4.2 : Pengujian satu sisi kanan


H0 diterima apabila
H0 ditolak apabila

c.










Gambar 4.3 : Pengujian satu sisi kiri

H0 diterima apabila
H0 ditolak apabila
4. Dari sampel yang diambil, dihitung nilai t dengan rumus :


dengan :
adalah rata-rata sampel satu
adalah rata-rata sampel dua
adalah standar deviasi sampel
banyaknya titik sampel
5. Bandingkan langkah ke 3 dan ke 4 untuk diambil kesimpulan.

4.3.3 Paired Sample Test
a. Sampel Besar (n30)
Langkah-langkah uji hipotesis.
1. Menyusun H0 dan H1 (ada 3 macam hipotesis)
a.
b.
a.
2. Menentukan level of significance ()
3. Menentukan peraturan-peraturan pengujiannya / kriterianya

a.









Gambar 4.1 : Pengujian dua sisi

H0 diterima apabila

H1 ditolak apabila


b.






Sampel Kecil (n<30)


Gambar 4.2 : Pengujian satu sisi kanan

H0 diterima apabila
H1 ditolak apabila
c.










Gambar 4.3 : Pengujian satu sisi kiri

H0 diterima apabila
H1 ditolak apabila

4. Dari sampel yang diambil, dihitung nilai Z dengan rumus :



dengan :
adalah rata-rata sampel
adalah standar deviasi sampel
banyaknya titik sampel
5. Bandingkan langkah ke 3 dan ke 4 untuk diambil kesimpulan.

b. Sampel Kecil (n<30)
Langkah pengujian pada dasarnya sama dengan sampel besar, kecuali pada kriteria pengujian dan perhitungan nilai t hitung.
1. Menyusun H0 dan H1 (ada 3 macam hipotesis)
a.
b.
e.
2. Menentukan level of significance ()
3. Menentukan peraturan-peraturan pengujiannya / kriterianya










Gambar 4.1 : Pengujian dua sisi

H0 diterima apabila :
H1 ditolak apabila :
b.









Gambar 4.2 : Pengujian satu sisi kanan

H0 diterima apabila
H1 ditolak apabila
c.









Gambar 4.3 : Pengujian satu sisi kiri

H0 diterima apabila
H1 ditolak apabila
4. Dari sampel yang diambil, dihitung nilai t dengan rumus :



dengan :
adalah rata-rata Di dengan Di = X1i - X2i
adalah standar deviasi Di
banyaknya pasangan titik sampel
5. Bandingkan langkah ke 3 dan ke 4 untuk diambil kesimpulan.






4.4 SOAL-SOAL

1. Uraikan seperlunya, apa yang dimaksud dengan :
1) Hipotesis dan Hipotesis tandingan
2) Kekeliruan macam 
3) Kekeliruan macam 
4) Taraf nyata
5) Risiko 

2. Bedakan antara :
1) Alternatif sepihak dan alternatif dua pihak
2) Taksiran statistis dan kesimpulan statistik

5. Prinsip apakah yang digunakan saat membuat kesimpulan statistis ?

6. Jelaskan, apakah artinya jika ketika membuat kesimpulan telah diambil kekeliruan  = 0,01 dan kekeliruan  = 0,08 !

7. Pengujian bersifat signifikan (atau nyata), apa artinya ?

8. Pembuat printer menyatakan bahwa ia telah membuat berkualitas lebih baik. Ia menyatakan bahwa dengan printer yang baru itu, penggunaan normal akan tahan selama 95 bulan. Dari pemakaian printer yang baru ini, telah berhasil dikumpulkan sebanyak 86 printer bekas yang rata-rata telah dipakai selama 92 bulan dengan simpangan baku 6 bulan. Apakah cukup dapat diperlihatkan berdasarkan kenyataan tersebut dengan resiko  = 0,05, bahwa perusahaan printer telah berhasil membuat printer baru sesuai dengan yang ia nyatakan ?

9. Seorang perwira koperasi AAL menyatakan bahwa pesanan yang ia terima telah mengalami perubahan apabilaa dibandingkan dengan masa-masa lalu. Pesanan masa lalu yang dipakai pedoman ternyata pukul rata berharga Rp. 50.000,-. Untuk meneliti pernyataan perwira tersebut sejumlah pesanan yang berikut digunakan sebagai bahan.

Pesanan (ribuan) Banyak pesanan
1 - 9
10 - 24
25 - 49
50 - 99
100 - 249 246
307
893
419
162
Jumlah 2.027

1) Tentukan dahulu perumusan Ho dan H1 !
2) Dari daftar di samping untuk keperluan penelitian tersebut, harga-harga apa yang perlu dicari ?
3) Apabila untuk penelitian tersebut diambil  = 0,01, tentukan bagaimana kesimpulannya ?

10. Seorang agen susu sapi mengatakan bahwa susu yang ia jual cukup baik, oleh karena untuk setiap liter susu rata-rata berisikan 0,025 kg.lemak mentega. Sebuah badan yang berwenang telah mengadakan penelitian, oleh karena akhir-akhir ini ada dugaan bahwa kualitas susu itu telah mengalami penurunan. Badan tersebut meneliti sebanyak 16 liter susu yaang diambil secara acak dari agen susu. Dari setiap liter susu yang diteliti, diukur berat lemak mentega yang ada. Hasilnya ternyata rata-rata 0,024 kg sedangkan simpangan bku untuk ke 16 liter susu yang diteliti itu 0,0023 kg. Jika resiko yang diambil oleh badan itu sebesar 0,05, maka apakah kesimpulan yang dapat diambil ?

9. Pengiriman barang dinyatakan dapat diterima apabila berisikan barang rusak sebanyak 4% atau kurang; sedangkan dalam hal lainnya pengiriman barang harus ditolak. Dari pengiriman yang terdiri dari 50.000 barang, diambil sebuah sampel acak terdiri atas 300 barang yang akan dipakai untuk menentukan penerimaan dan penolakan pengiriman itu. Setelah ketiga ratus barang tadi diperiksa, ternyata didapat sebanyak 14 buah yang rusaak. Jika dalam penentuan ini tidak mau mengambil resiko lebih dari 0,05 untuk menolak pengiriman apabila sebenarnya seharusnya diterima, bagaimana mengenai nasib pengiriman tersebut ? Bagaimana kalau resikonya hanya 1% ?

10. Sampel acak semacam barang telah diambil dari dua kumpulan yang masing-masing dihasilkan oleh mesin A dan mesin B. Dari produksi mesin A diambil 200 barang dimana terdapat 19 yang rusak; sedangkan dari produksi mesin B diambil 100 barang dimana terdapat yang rusak 5 buah. Selidiki dengan  = 0,05, apakah kualitas barang yang dihasilkan oleh mesin itu sama atau berbeda ?

11. Berdaasarkan keterangan masa lampau diperkirakan sekitar 60% dari konsumen telah menggunakan sabun cuci merk AWET. Hasil ini berdasarkan penelitian sebuah sampel yang terdiri dari 1400 konsumen. Pengusaha sabun telah mengadakan iklan besar-besaran. Kemudian diteliti bagaimana hasilnya. Ternyata dari sebanyak 2.175 konsumen sejumlah 1.415 menyatakan menyenangi sabun cuci itu. Dari hasil ini dengan taraf nyata  = 0,05 dapatkah disimpulkan bahwa iklan yang telah dilakukan itu bermanfaat ?















5.1 PENGERTIAN UMUM
Banyak permasalahan yang datanya dinyatakan oleh lebih dari sebuah variabel. Mengingat analisis kumpulan data yang terdiri atas banyak variabel pada dasarnya merupakan perluasan dari analisis yang datanya terdiri atas dua variabel, maka di sini terutama akan dibicarakan penelaahan kumpulan data yang dilukiskan oleh dua variabel saja. Untuk keperluan penelaahan, kepada kedua variabel itu digunakan simbul yang lazim dipakai, ialah X dan Y yang dapat diberi indeks menurut keperluannya yaitu :
dan
Atau pasangan ; i = 1,2, … , n
Sehingga sampel yang berukuran n itu terdiri atas n buah pasang data.

Contoh 5.1 :
Jika menyatakan banyak pengunjung ke suatu toko swalayan dan diartikan orang-orang diantara pengunjung itu yang berbelanja di toko tersebut misalnya, maka akan diteliti kumpulan data seperti dalam daftar berikut :

Tabel 5.1 : Jumlah pengunjung dan belanja di suatu toko swalayan
Pengunjung ( )
Yang Berbelanja ( )

300 156
290 151
345 175
419 203
378 196
353 189
435 241
361 197
394 212
436 232

Hal-hal yang akan dipelajari mengenai kumpulan data yang terdiri atas dua variabel yaitu :
a. Mempelajari derajat asosiasi antara kedua variabel. Bagian ini dalam statistika dikenal dengan nama ANALISIS KORELASI. Hubungan korelasional ini tidak menjelaskan apakah suatu variabel menjadi penyebab dari variabel yang lainnya.
b. Mempelajari hubungan yang ada di antara variabel-variabel sehingga dari hubungan yang diperoleh dapat menaksir variabel yang satu apabila harga variabel lainnya diketahui. Bagian ini dikenal dengan nama ANALISIS REGRESI.

Contoh 5.2 :
a. Dari data yang tertera dalam daftar di atas, dapat dicari hubungan yang ada antara pengunjung dan yang belanja. Jika pada suatu hari ada 390 pengunjung, dari hubungan yang diperoleh dapat diperkirakan ada berapa yang akan belanja di toko itu. Selain daripada itu, juga dapat ditentukan berapa kuat jumlah pembeli ditentukan oleh adanya pengunjung
b. Diketahui bahwa produk nasional kotor ditentukan oleh produk-produk. Lainnya, antara lain jasa, Jika data selama waktu-waktu tertentu diketahui, hubungan antara produk-produk nasional kotor dan jasa dapat dihitung. Dari hubungan ini, produk nasional kotor dapat diperkirakan jika jasa dapat diketahui.



5.2 ANALISIS REGRESI
Untuk menjelaskan bagaimana hubungan antara dua variabel, perhatikan data yang tercantum dalam tabel berikut :

Tabel 5.2 : Banyak pengunjung dan belanja di suatu toko swalayan selama 30 hari.
HARI KE PENGUNJUNG (Xi) BELANJA
(Yi) HARI KE PENGUNJUNG
(Xi) BELANJA
(Yi)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15 35
39
34
40
31
43
40
30
34
39
33
32
36
40
43 32
36
31
38
29
42
33
29
29
36
31
31
33
37
36 16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30 40
41
32
34
30
35
36
37
39
41
33
34
36
38
37 38
37
30
30
28
35
29
34
35
36
32
32
34
37
34

Dalam daftar di atas merupakan banyak pengunjung (dinyatakan dengan Xi) dan yang berbelanja (dinyatakan dengan Yi) yang telah dicatat oleh seseorang pengusaha di tokonya.
Kebiasaan yang digunakan dalam penentuan simbul-simbul yang lazim, ialah Xi untuk hal yang diperkirakan lebih tepat dapat digolongkan ke dalam variabel yang sifatnya bebas, sedangkan Yi untuk variabel yang diperkirakan akan bergantung pada Xi. Variabel Xi disebut variabel bebas sedangkan Yi disebut variabel tak bebas.
Representasi untuk data dalam Tabel 6.2 di atas, diagram pencarnya dapat dilihat seperti dalam gambar berikut !













Gambar 5.1 : Diagram pencar dari data pada Tabel 6.2

Dengan menggunakan diagram ini dapat dilihat apakah ada sesuatu hubungan yang berarti diantara titik-titik itu pada atau sekitar garis lurus ? Jika demikian halnya, cukup alasan bagi kita untuk menduga bahwa antara variabel-variabel itu ada hubungan linear. Dalam hal lainnya, antara variabel-variabel itu diduga terdapat hubungan non linear.
Setelah diketahui bentuk hubungan antara variabel itu, tugas selanjutnya ialah menentukan hubungan tersebut dirumuskan dalam suatu persamaan matematis. Kemudian disusun dalam suatu persamaan garis yang merepresentasikan persamaan matematisnya. Garis ini dikenal dengan nama garis regresi. Jika hubungan Y = f(X) itu linear, maka garis yang didapat adalah garis regresi linear. Dalam hal lainnya didapat regresi nonlinear.

REGRESI NON LINEAR






Gambar 5.2 : Representasi garis regresi linear dan non linear

Gambar di atas memperlihatkan diagram pencar untuk data dalam daftar dengan garis lurus atau regresi linear yang diduga cocok dengan letak titik-titik diagram. Gambar 5.2 melukiskan regresi non linear untuk sesuatu persoalan.
Oleh karena regresi linear merupakan bentuk regresi yang paling mudah ditelaah, kecuali itu juga karena banyak regresi nonlinear yang dapat diselesaikan dengan bantuan regresi linear, maka di sini terutama hanyalah regresi tersebut yang akan dibicarakan.
Bagaimanakah menentukan persamaan regresi yang linear ini? Yang paling mudah ialah dengan jalan kira-kira menurut penglihatan kita. Pada kumpulan titik-titik itu ditarik sebuah garis lurus yang akan paling dekat titik-titik itu berkerumun sekitar garis yang ditarik tadi. Sesudah itu ditentukan bagaimana persamaannya.
Meskipun cara tersebut sangat mudah dilakukan namun untuk penelitian jarang dilakukan oleh karena kecuali terlalu kasar hasilnya, juga terlalu subyektif dan ini sedapat mungkin harus dihindarkan. Karenanya akan ditinjau cara yang dianggap cukup baik dan sering digunakan. Cara yang dimaksud adalah METODA KUADRAT TERKECIL. Sebelum cara ini dibicarakan, terlebih dahulu akan ditinjau seperlunya macam-macam regresi linear yang mungkin, sehubungan dengan variabel bebas.
Di atas dikatakan, bahwa jika variabel X yang diketahui terlebih dahulu dan kemudian Y ditentukan berdasarkan X ini, maka ditentukan hubungan Y=f(X). Rumusan hubungan ini lebih dikenal dengan nama Regresi Y atas X.
Jika regresi Y atas X ini linear, maka persamaannnya dapat dituliskan dalam bentuk linear :

………(5.1)

Dengan berarti taksiran nilai X untuk harga Y yang diketahui.
Untuk menentukan koefisien-koefisien a dan b ini akan digunakan METODA KUADRAT TERKECIL. Ternyata bahwa untuk regresi linear dalam rumus 6.1, harga-harga a dan b dapat dihitung berdasarkan sekumpulan data sebanyak n buah dengan menggunakan sistem persamaan :


.............. (5.2)

Pasangan persamaan dengan dua anu a dan b ini, bentuk rumus 6.3, disebut persamaan-persamaan normal untuk bentuk regresi dalam rumus 6.1. Setelah diselesaikan, akan didapat harga-harga a ddan b yang dicari, yakni:

.............. (5.3)

Untuk menjelaskan penggunaan rumus 5.3 di atas, sekarang ditinjau contoh mengenai banyak pengunjung dan yang berbelanja ke sebuah toko yang datanya tertera dalam Tabel 5.2. Dari diagram pencar gambar 5.1 mudah dilihat bahwa titik-titik itu terletak sekitar garis lurus. Untuk menentukan regresi linear Y atas X, maka sebaliknya dibuat sebuah daftar seperti Tabel 5.3 berikut ini.





Tabel 5.4 : Tabel penyelesaian persamaan regresi linear
Xi Yi Xi2 Yi2 XiYi Xi Yi Xi2 Yi2 XiYi
34
38
34
40
31
43
40
30
33
39
33
32
36
40
42 32
36
31
38
29
42
33
29
29
36
31
31
33
37
36 1156
1444
1156
1600
961
1849
1600
900
1089
1521
1089
1024
1296
1600
1764 1024
1296
961
1444
841
1764
1089
841
841
1296
961
961
1289
1369
1296 1088
1368
1054
1520
899
1806
1320
870
4957
1296
1023
992
1089
1480
1512 40
41
32
34
30
35
36
37
39
40
33
34
36
37
37 38
37
30
30
28
35
29
34
35
36
32
32
34
37
34 1600
1681
1024
1156
900
1225
841
1156
1225
1296
1024
1024
1156
1369
1156 1444
1369
900
900
784
1225
841
1156
1225
1296
1024
1024
1156
1369
1156 1520
1517
960
1020
840
1225
1044
1258
1365
1440
1056
1088
1224
1369
1258
545 503 20049 17073 18481 541 501 19651 16869 18184

Dari daftar di atas diperoleh :

Disubstitusikan harga-harga tersebut dengan rumus regresi linear dengan mengambil n = 30, didapat :

Sehingga garis regresi linear yang dimaksud mempunyai persamaan :

Dengan menggunakan persamaan yang diperoleh ini dapat diperkirakan berapa orang diantara pengunjung itu yang akan berbelanja, apabila jumlah pengunjung dapat diketahui. Apabila rata-rata perjam ada 40 orang yang berkunjung ke toko itu, maka dapat diperkirakan dari diperoleh :
Y = 1,6 + (0,88)(40)
= 36,81 orang yang berbelanja.

5.3 REGRESI NON LINEAR
Setelah dipelajari seperlunya mengenai bentuk hubungan linear antara dua variabel X dan Y sekarang akan diperhatikan bentuk hubungan nonlinear antar dua variabel. Tidak akan dibicarakan secara luas dan mendalam mengenai regresi nonlinear ini, tetapi hanya merupakan suatu tinjauan singkat saja, tinjauan yang pada umumnya dapat ditelaah berdasarkan teori regresi linear.
Meskipun terdapat banyak sekali bentuk regresi non linear yang biasa digunakan tetapi di sini hanyalah akan ditinjau beberapa saja yang penting dan termudah. Untuk regresi nonlinear Y atas X yang akan ditinjau di sini, antara lain berbentuk lengkungan :
a. Parabola kuadratis dengan persamaan
b. Parabola kubis dengan persamaan

c. Logaritmis dengan persamaan :
d. Hiperbola dengan persamaan :

5.4 REGRESI LINEAR BERGANDA
Ada banyak kenyataan bahwa pengamatan akan terdiri atas lebih dari dua variabel. Sehingga yang harus digunakan adalah regresi dengan variabel bebas lebih dari satu.

Contoh :
1. Harga beras tidak saja hanya ditentukan oleh adanya persediaan, tetapi juga oleh harga bensin, upah buruh dan sebagainya.
2. Produksi telur ayam tidak saja bergantung pada banyaknya ayam petelur yang ada saja, tetapi juga dari banyak makanan yang diberikan, umur ayam dan barangkali masih ada faktor lainnya.

Apabila ada satu variabel terikat Y dan k variabel bebas sehingga terdapat hubungan semacam garis regresi Y atas . Dalam bagian ini akan dijelaskan secara singkat bagaimana garis regresi yang dimaksud dapat ditentukan dan yang akan ditinjau di sini hanyalah garis regresi Y atas yang paling sederhana ialah yang dikenal dengan nama regresi linear berganda. Persamaan umum untuk regresi linear berganda ini adalah :



Dimana harus ditentukan dari data hasil pengamatan. Mudah dilihat bahwa regresi di atas ini merupakan perluasan dari regresi linear sederhana.
Pertanyaan yang timbul adalah : bagaimana koefisien-koefisien ditentukan ? Secara sama dengan regresi linear sederhana, maka dipergunakan metode KUADRAT TERKECIL. Oleh karena ada k+1 parameter yang harus dicari maka diperlukan k+1 persamaan dengan k+1 anu. Dapat dibayangkan bahwa hal itu memerlukan metode penyelesaian yang lebih baik dan karenanya memerlukan matematika yang lebih tinggi lebih-lebih untuk variabel yang cukup banyak.
Untuk regresi linear berganda yang sederhana :



Misalnya kita harus menyelesaikan 3 persamaan dengan 3 anu yang berbentuk :


Untuk persamaan regresi dengan 4 variabel bebas, maka diperlukan 4 persamaan. Demikian seterusnya.

5.5 ANALISIS KORELASI
Dalam bagian yang lalu, telah dipelajari bagaimana hubungan antara dua variabel X dan Y dapat ditentukan. Hubungan yang diperoleh dinyatakan dalam bentuk persamaan matematis yang dalam statistika dikenal dengan nama garis regresi. Jika X merupakan variabel bebas dan Y variabel tak bebas, regresi Y atas X dapat digunakan untuk meramalkan nilai Y apabila nilai X diketahui.
Dalam banyak soal, jika nilai-nilai pengamatan terdiri atas lebih dari sebuah variabel, bukan saja regresinya yang perlu dihitung, tetapi juga kekuatan hubungan antara variabel-variabel itu. Ukuran yang digunakan untuk itu adalah koefisien korelasi.
Untuk keperluan analisis tentang korelasi ini, seperti biasa akan dibedakan antara statistik (ialah koefisien korelasi untuk data dalam sampel) dan parameter (untuk menyatakan koefisien korelasi populasi. Koefisien korelasi untuk sampel, jadi merupakan statistik, akan dinyatakan dengan r sedangkan parameternya dengan  (baca : rho).
Dalam bagian berikut ini akan diuraikan bagaimana r dihitung dan selanjutnya akan diberikan penjelasan mengenai pengujian derajat asosiasi.

a. Koefisien Korelasi
Karena ternyata korelasi dan regresi berhubungan erat, maka untuk menentukan ukuran asosiasi atau koefisien korelasi, perlu terpenuhi syarat-syarat :
1) Koefisien korelasi harus besar apabila derajat asosiasi tinggi dan harus kecil apabila derajat asosiasi rendah.
2) Koefisien korelasi harus bebas daripada satuan yang digunakan untuk mengukur variabel.
Untuk mencapai kedua syarat di atas, maka untuk menentukan koefisien korelasi r biasa digunakan statistik :



Inilah rumus koefisien korelasi yang pertama yang disebut KOEFISIEN KORELASI PERSON atau PRODUCT MOMENT.
Koefisien korelasi r menunjukkan apakah cukup beralasan bagi kita untuk menyatakan ada atau tidak adanya hubungan linear antara variabel-variabel X dan Y. Rumus lain yang juga sering dipergunakan adalah :



Dengan menggunakan perhitungan matematika, ternyata dapat dibuktikan bahwa batas-batas koefisien korelasi itu berada dalam daerah / interval :
-1  r  1
Tanda positif menyatakan bahwa antara variabel-variabel itu terdapat korelasi positif atau korelasi langsung yang berarti nilai variabel X yang kecil berpasangan dengan nilai variabel Y yang kecil serta nilai variabel X yang besar berpasangan dengan nilai variabel Y yang besar pula.
Korelasi positif menunjukkan letak titik-titik dalam diagram pencar berada sekitar garis lurus yang koefisien arahnya positif. Makin dekat letak titik-titik itu pada garis lurus, makin kuatlah korelasi positif itu dan harganya makin dekat kepada satu.
Jika titik-titik itu terletak pada garis lurus yang arahnya positif, akan diperoleh harga r = +1.







Jika variabel X yang besar berpasangan dengan Y yang kecil dan jika X kecil berpasangan dengan Y yang besar, akan diperoleh Korelasi negatif atau korelasi invers.
Dilihat dari diagram pencarnya, letak titik-titik akan berada sekitar sebuah garis lurus yang koefisien arahnya negatif. Makin dekat letak titik-titik itu pada garis yang dimaksud, makin dekat pula nilai r kepada -1. Dan akhirnya jika titik-titik itu terletak pada garis lurus yang koefisien arahnya negatif didapat harga r = -1.
Dalam prakteknya jarang sekali didapatkan diagram pencar yang letak titik-titiknya pada sebuah garis lurus seperti dalam gambar di atas sangat jarang. Yang sering didapati adalah bentuk yang menyebabkan nilai koefisien korelasi tidak sama dengan 1 atau -1. Makin terpencar letak titik-titik itu dari sebuah garis lurus, makin dekatlah r kepada nol.
Setelah dikenal apa arti koefisien korelasi, masih ada ukuran lain yang sebenarnya lebih mudah untuk ditafsirkan dalam penggunaannya. Ukuran tersebut ialah yang dinamakan koefisien determinasi yang tiada lain daripada kuadrat koefisien korelasi. Jadi :
Koefisien Determinasi = r2
Karena sudah diketahui bahwa koefisien korelasi berada -1  r  +1, maka tentulah koefisien determinasi mulai dari nol sampai dengan 1, atau :
0  r2  1
Koefisien determinasi biasanya dinyatakan dengan persen. Sedangkan penafsirannya adalah jika r = 0,94 sehingga r2 = 0,8836 atau 88,36% maka ditafsirkan sebagai 88,36% variasi suatu variabel yang disebabkan oleh variabel lainnya.
Koefisien determinasi banyak digunakan dalam penjelasan tambahan untuk hasil perhitungan koefisien regresi.

b. Menghitung r Untuk Data Berkelompok
Rumus-rumus di atas adalah rumus-rumus untuk menentukan r apabila datanya massih belum disusun dalam daftar distribusi frekuensi. Rumus-rumus tersebut pula cukup menyenangkan untuk digunakan apabila datanya tidak terlalu banyak. Jika data yang sedang dicari korelasinya itu banyak sekali, dengan menggunakan rumus-rumus tersebut akan memakan waktu yang lama dari perhitungannya. Oleh karena itu perlu ada usaha untuk mempersingkatnya. Jalan yang lazim ditempuh ialah terlebih dahulu menyusun data ke dalam daftar distribusi frekuensi. Oleh karena kita sedang berhadapan dengan penelitian yang terdiri atas dua variabel, maka kitapun akan memperoleh dua distribusi frekuensi. Kedua distribusi frekuensi ini harus disajikan dalam daftar yang berklasifikasi dua, sedemikian sehingga dampaknya banyak seperti daftar kontingensi. Banya baris sesuai dengan banyak kelas interval distribusi frekuensi variabel yang satu, sedangkan banyak kolom sesuai dengan banyak kelas interval dari distribusi frekuensi variabel kedua. Untuk variabel yang satu, yang terdapat dalam baris, kelas-kelas intervalnya mulai dari atas ke bawah disusun seperti biasa, yakni dari data yang kecil hingga yang paling besar. Variabel yang terdapat dalam kolom, kelas-kelas intervalnya dari kiri ke kanan yang dimulai dari data yang kecil hingga yang besar.
Frekuensi data dalam daftar ini akan didapati dalam tiap-tiap sel. Jadi frekuensi dalam setiap sel merupakan banyak data yang ada dalam kelas interval variabel yang satu dan juga yang ada dalam kelas interval variabel yang lain.

Contoh :
Berikut data gaji tentara (data fiktif, tahun 95) beserta pengeluarannya untuk keperluan rekreasi bersama keluarga.

Daftar gaji tentara dan pengeluaran untuk wisata
(dalam puluhan ribu rupiah)


Gaji
wisata 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99 jumlah
0,00-0,99 1 1
1,00-1,99 2 3 1 6
2,00-2,99 1 2 10 2 15
3,00-3,99 5 6 5 1 1 1 19
4,00-4,99 2 4 3 2 1 12
5,00-5,99 1 10 6 2 19
6,00-6,99 2 5 2 2 11
7,00-7,99 1 1 2
Jumlah 4 10 19 14 19 12 7 85

Dari daftar dapat dilihat bahwa ada 4 tentara dengan gaji Rp. 300.000 sampai dengan Rp. 400.000 sebulannya, dengan pengeluaran untuk wisata masing-masing 1 orang Rp. 0 sampai dengan Rp. 99.000.
Sekarang persoalannya adalah bagaimana menentukan koefisen korelasi antara keduanya ?
Untuk itu dipergunakan rumus berikut :



dimana :
u = koding untuk variabel X
v = koding untuk variabel Y
fx = frekuensi kelas interval dari variabel X
fy = frekuensi kelas interval dari variabel Y
f = frekuensi dalam tiap sel
n = banyak data.
Sekarang dipergunakan peerumusan di atas.



Gaji tentara
x 34,5 44,5 54,5 64,5 74,5 84,5 94,5
Y u -3 -2 -1 0 1 2 3 fy fyv fyv2 Fuv
0,495 -3 1 1 -3 9 9
1,495 -2 2 3 1 6 -12 24 26
2,495 -1 1 2 10 2 15 -15 15 17
3,495 0 5 6 5 1 1 1 19 0 0 8
4,495 1 2 4 3 2 1 12 12 12 8
5,495 2 1 10 6 2 19 38 76 56
6,495 3 2 5 2 2 11 33 99 45
7,495 4 1 1 2 8 32 20
fx 4 10 19 14 19 12 7 85 61 267 181
fxu
-12 -20 -19 0 19 24 24 21
fxu2 36 40 19 0 19 48 63 63
fuv 24 16 10 0 38 48 45 45

Untuk variabel x, telah diambil koding u = 0 yang sesuai dengn tanda kelas 64,5 dan untuk variabel Y diambil koding v = 0 sesuai dengan tanda kelas 3,495. Koding-koding lainnya diambil seperti biasa, yakni untuk tanda kelas yang makin kecil berturut-turut -1, -2, -3, ….. sedangkan untuk tanda kelas yang makin besar +1, +2, +3, … Harga-harga fxu didapat dengan mengalikan fx = 4 kali u = -3, fxu = -20 dari fx = 10 kali u = -2 dan seterusnya. Demikian pula fyv = 3 didapat dari fy = 1 kali v = -3, fyv = -12 didapat dari fy = 6 kali v = -2 dan seterusnya.
Nilai fxu2 diperoleh dengan mengalikan fxu dengan u, nilai fyv2 adalah hasil kali fyv dengan v dan seterusnya.
Dengan demikian, nilai r adalah :
85. 181 - 13. 61
r =
{85.225 - 132} {85.267 - 612}

r = 0,77

Angka ini menyatakan kuatnya hubungan antara gaji bulanan tentara dan pengeluaran untuk pariwisata.

c. Korelasi Rank
Ada kalanya ingin diketahui korelasi antara dua variabel tidak berdasarkan pada pasangan data dimana nilai sebenarnya diketahui. Umpamanya saja, kita telah melakukan penelitian mengenai tingkatan menyenangi merk sepatu olahraga bagi prajurit A dan prajurit B anggota TNI AL. Hasilnya dinyatakan dalam tabel di bawah ini. Untuk sepatu yang paling disukai, diberi nilai 1 dan yang paling tidak disukai diberi nilai 10. Urut-urutan nilai tersebut dinamakan RANK. Berdasarkan rank tersebut, dapatlah ditentukan hubungan / korelasi antara keddua variabel. Ukuran yang diperoleh biasa dinamakan koefisien korelasi rank atau biasa juga dikenal dengan koefisien korelasi spearman dan disimbulkan dengan r' (baca : er - aksen) untuk membedakan dengan koefisien korelasi yang sudah dikenal.

Merk sepatu Prajurit A Prajurit B
1 2 3
Adidas 1 2
Lotto 2 3
Speck 3 1
Spotex 5 4
New Era 4 5
Jet 6 6
Niel 8 9
Pioneer 9 7
Crown 7 8
Best 10 10

Rumus untuk menghitung koefisien korelasi spearman adalah:



dengan di = selisih tiap pasang rank
n = banyaknya pasangan data
Sehingga dengan menggunakan rumus di atas, persoalan kesukaan terhadap sepatu merk tertentu dapat dicari koefisien korelasinya, sebagai berikut :

Rank A 1 2 3 5 4 6 8 9 7 10
Rank B 2 3 1 4 5 6 9 7 8 10
di -1 -1 2 1 -1 0 -1 2 -1 0 Jml
di2 1 1 4 1 1 0 1 4 1 0 14


r' = 0,015

d. Korelasi Berganda
Korelasi berganda merupakan korelasi dari beberapa variabel bebas secara serentak dengan variabel terikat
Misalkan ada k variabel bebas, dan satu variabel terikat Y dalam suatu persamaan regresi linear maka besarnya korelasi bergandanya adalah :

dengan


e. Korelasi Parsial
Korelasi parsial adalah korelasi antara sebuah variabel tak bebas dengan sebuah variabel bebas tertentu dengan variabel-variabel bebas lain dianggap tetap / konstan.
Koefisien korelasi parsial dinyatakan dengan perumusan :
Untuk dua variabel bebas :
Korelasi parsial Y dengan X1 dengan X2 dianggap konstan adalah :
Korelasi parsial Y dengan X2 dengan X1 dianggap konstan adalah :

5.6 SOAL-SOAL

a. Berikan contoh dimana ramalan akan diperlukan !
b. Apakah yang dimaksud dengan :
1) regresi linear
2) regresi nonlinear
3) regresi linear X atas Y
4) regresi linear Y atas X
5) metode kuadrat terkecil
6) persamaan normal suatu regresi
7) simpangan baku bersyarat
8) regresi linear berganda
c. Jelaskan mengenai perbedaan antara regresi linear dan non linear
d. Dalam uraian yang mengenai hampir seluruhnya hanya ditinjau tentang regresi Y atas X. Untuk mendapatkan uraian tentang regresi X atas Y, tinggallah menukarkan variabel-variabel X dan Y. Sejalan dengan ini, regresi X atas Y, cobalah tuliskan rumuss yang sesuai.
e. Dalam hal yang berikut, sebutkan apakah taksiran rata-rata atau taksiran nilai individu yang diperlukan :
1) bagaimanakah jualan tahun yang akan datang, apabila untuk tahun itu diketahui produk nasional kotor yang diharapkan ?
2) Orang - orang dengan pendapatan Rp 1000.000,00 tiap bulan berapa dapat menyediakan uangnya untuk keperluan sosial ?
f. Perhatikanlah regresi linier dalam rumus x =  + X. Apakah artinya kalau  = 0 ?
g. Jelaskanlah arti  dalam hal yang berikut, apabila regresi linier :
X = ongkos untuk keperluan iklan dalam ribuan rupiah
Y = hasil jualan karena iklan tersebut dalam ribuan rupiah
h. Dengan menggunakan data dalam daftar berikut, tentukanlah regresi linier untuk memperkirakan nilai ujian statistika jika diketahui NEM matematika SMU nya diketahui.

NO NEM Matematika SMU Nilai statistika
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15 40
40
41
42
43
44
45
46
47
47
48
48
49
49
50 65
66
66
67
69
72
72
73
75
76
77
78
76
80
80

i. Garis regresi untuk memperkirakan pengeluaran keluarga tiap bulan guna keperluan makanan berdasarkan pendapatan keluarga tiap bulan, dinyatakan dalam ribuan rupiah , ditentukan oleh :
^
Y = 185 + 1,46 X
1) Berapakah pukul rata pengeluaran keluarga setiap bulan guan keperluan makanan apabila pendapatan keluarga setiap bulannya mencapai 100.000 rupiah ?
2) Berapa ribu rupiahkah pengeluaran setiap bulan akan bertambah, jika pendapatan naik dengan Rp. 1.000,- ?
3) Apakah keanehannya jika X = 0 rupiah ?
j. Dalam tempo delapan tahun, hubungan antara Produk Nasional Kotor (Y) dengan hasil jualan tahunan minyak mentah dinyatakan oleh X di suatu negara, ditentukan oleh : Y = -3,21 + 0,02453 X
Dengan X, Y dalam milyard unit uang di negara itu.
1) Apakah arti 0,02453
2) Jika hasil jualan tahunan minyak mentah mencapai harga 285 milyard unit barang, berapakah Produk Nasional Kotor di negara itu diperkirakan untuk tahun tersebut ?
3) Jika selanjutnya diketahui sy.x. = 0,241 dan  X2i = 1.089,413 sedangkan  Xi = 2.927, maka dengan koefisien kepercayaan 0,95 tentukan batas-batas pertambahan Produk Nasional Kotor untuk setiap milyard bertambahnya hasil jualan minyak mentah.


k. Apakah yang dimaksud dengan :
1) Korelasi
2) Koefisien korelasi
3) Korelasi parsial
4) Korelasi positif
5) Korelasi negatif
6) Korelasi Rank
l. Berikan contoh masing-masing sebuah, dimana diperkirakan akan didapat korelasi :
1) Positif
2) Negatif
m. Hasil penelitian sesuatu hal menghasilkan r = 0. Apakah ini berarti bahwa antara variabel-variabel yang diteliti itu tidak terdapat hubungan ?
n. Tafsiran apakah yang dapat diperoleh jika dikatakan bahwa koefisien korelasi antara banyak kecelakaan di pabrik tiap tahun dan umur pegawai di pabrik itu sebesar r = -0,65
o. Untuk soal h di atas, carilah korelasi antara NEM matematika SMU dengan nilai ujian statistika.
p. Dua orang ahli disuruh mencoba kecap yang dihasilkan oleh 12 perusahaan kecap. Untuk kecap yang paling enak, oleh setiap ahli diberi nomor satu, yang kurang enak diberi nomor dua dan seterusnya. Hasilnya diberikan dalam daftar berikut :
Ahli A 10 3 5 4 1 8 7 6 2 9 11 12
Ahli B 8 6 1 12 3 11 2 5 7 4 10 9

1) Carilah koefisien korelasi ranknya.
2) Selidikilah, apakah ada kesesuaian rasa kedua ahli itu ?